Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.

（1）若∠ABC＝30°，求DC；

（2）记∠ABC＝θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）θ＝75°时，面积取最小值.

【解析】

（1）由题意可求∠ADC＝120°，在△ACD中，可得∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠ADC＝120°，进而由正弦定理解得CD的值.

（2）由题意可得可得∠CAD＝30°，可求∠ADC＝150°﹣θ，在△ADC中，由正弦定理解得，在△ABC中解得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△BCD，结合范围0°＜θ＜150°，可得﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，利用正弦函数的性质即可求解.

解：（1）在四边形ABCD中，因为AD⊥AB，∠BCD＝120°，∠ABC＝30°，

所以∠ADC＝120°，

在△ACD中，可得∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠ADC＝120°，

AC＝2，由正弦定理得：，

解得：.

（2）因为∠CAB＝60°，AD⊥AB可得∠CAD＝30°，

四边形内角和360°得∠ADC＝150°﹣θ，

∴在△ADC中，由正弦定理得：，解得：，

在△ABC中，由正弦定理得：，解得，

∴S△BCD

，

∵0°＜θ＜150°，

∴﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，

∴当2θ﹣60°＝90°即θ＝75°时，S取最小值为.