【题目】(本小题共13分)
已知,
或1,
,对于
,
表示U和V中相对应的元素不同的个数.
(Ⅰ)令,存在m个
,使得
,写出m的值;
(Ⅱ)令,若
,求证:
;
(Ⅲ)令,若
,求所有
之和.
【答案】解:(Ⅰ) ; ………3分
(Ⅱ)证明:令,
∵或1,
或1;
当,
时,
当,
时,
当,
时,
当,
时,
故
∴
………8分
(Ⅲ)解:易知中共有
个元素,分别记为
∵的
共有
个,
的
共有
个.
∴
=
= ……13分
∴=
.
法二:根据(Ⅰ)知使的
共有
个
∴=
=
两式相加得=
(若用其他方法解题,请酌情给分)
【解析】试题分析:本题是综合考查集合推理综合的应用,这道题目的难点主要出现在读题上,需要仔细分析,以找出解题的突破点,题目所给的条件其实包含两个定义,第一个是关于的,其实
中的元素就是一个n维的坐标,其中每个坐标都是0或者1,也可以这样理解,就是一个n位数字的数组,每个数字都只能是0或1,第二个定义
.第一问,根据
,且
及
的意义:表示U和V中相应的元素不同的个数,可知
;第二问,根据
或1,
,分类讨论
,
时,
;当
,
时,
;当
,
时,
;当
,
时,
;可证,
,再相加即可证明结论;第三问,结合第一问,得出使
的
共有
个,分别计算出
和
,再相加即可.
试题解析:(Ⅰ) ;
(Ⅱ)证明:令,
∵或1,
或1;
当,
时,
当,
时,
当,
时,
当,
时,
故
∴
(Ⅲ)解:易知中共有
个元素,分别记为
∵的
共有
个,
的
共有
个.
∴
=
=
∴=
.
法二:根据(Ⅰ)知使的
共有
个,
∴=
=
两式相加得=
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了解甲、乙两班学生的学业水平,从两班中各随机抽取人参加学业水平等级考试,得到学生的学业成绩茎叶图如图:
(Ⅰ)通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值与
及方差
与
的大小;(只需写出结论)
(Ⅱ)根据学生的学业成绩,将学业水平分为三个等级:
根据所给数据,频率可以视为相应的概率.
(i)从甲、乙两班中各随机抽取人,记事件
:“抽到的甲班学生的学业水平高于乙班学生的学业水平等级”,求
发生的概率;
(ii)从甲班中随机抽取人,记
为学业水平优秀的人数,求
的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(1)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;
(2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.
(1)若∠ABC=30°,求DC;
(2)记∠ABC=θ,当θ为何值时,△BCD的面积有最小值?求出最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x,aR.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
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