Question

16．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁⊥A₁C，且AA₁=AD=DC=2，AB=BC．
（1）求证：CD⊥AD；
（2）当DM为何值时（M是BD上的点），D₁M⊥面A₁C₁D．

Answer 1

分析 （1）由已知可证AD₁⊥平面A₁DC，从而可证AD₁⊥DC，又CD⊥D₁D，可证CD⊥平面D₁DA₁，从而可证CD⊥AD．
（2）以D₁ 为原点，以$\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}D}$的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，设AC∩BD=Q，则由题意可得：$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{DQ}$=（1，1，0），可设$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{DQ}$=（λ，λ，0），则M（λ，λ，2），可求$\overrightarrow{{D}_{1}M}$（λ，λ，2），要使D₁M⊥面A₁C₁D，只要$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，解得λ的值，即可得解．

解答 证明：（1）∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD，
∴AD₁⊥A₁D，
又∵AD₁⊥A₁C，A₁D∩A₁C=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁DC，
∵DC?平面A₁DC，
∴AD₁⊥DC，
又∵CD⊥D₁D，D₁D∩AD₁=D₁
∴CD⊥平面D₁DA₁，AD?D₁DA₁，
∴CD⊥AD．
（2）以D₁ 为原点，以$\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}D}$的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，设AC∩BD=Q，则由题意可得：D₁ （0，0，0），D（0.0.2），A₁ （0，2，0，），C₁ （2，0，0，），Q（1，1，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{DQ}$=（1，1，0），
可设$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{DQ}$=（λ，λ，0），则M（λ，λ，2），可求$\overrightarrow{{D}_{1}M}$（λ，λ，2），
∴要使D₁M⊥面A₁C₁D，只要$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2λ+4=0}\\{2λ-2λ=0}\end{array}\right.$，解得λ=2，$\overrightarrow{DM}$=（2，2，0），
∴当DM为2$\sqrt{2}$时，（M是BD上的点），D₁M⊥面A₁C₁D．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力和推来论证能力，属于基本知识的考查．