Question

18．已知x²+2a×log₂（x²+2）+a²-3=0有唯一解，求a的值．

Answer 1

分析 构造函数 f（x）=x²+2a×log₂（x²+2）+a²-3，根据函数的奇偶性得到函数f（x）为偶函数，因此图象关于 y 轴对称，则f（0）=0，解得 a=1 或 a=-3．进行验证即可．

解答 解：构造函数 f（x）=x²+2a×log₂（x²+2）+a²-3，
可得它在 R 上为偶函数，
因此图象关于 y 轴对称．
因为 f（x）=0 有唯一解，因此这个解一定是 x=0，
即  f（0）=0，即 f（0）=2a+a²-3=（a-1）（a+3）=0．
解得 a=1或a=-3．
①当 a=1 时，f（x）=x²+2×log₂（x²+2）-2≥0+2log₂2-2=0，当且仅当x=0时取等号，
因此关于x的方程x²+2a×log₂（x²+2）+a²-3=0有唯一解 x=0．
②当a=-3 时，f（x）=${x}^{2}-6lo{g}_{2}（{x}^{2}+2）+6$，
因为f（0）=0，f（$\sqrt{30}$）=30-6×5+6=6＞0，f（$\sqrt{14}$）=14-6×4+6=-4＜0，
故函数f（x）在区间（$\sqrt{14}$，$\sqrt{30}$）之间有零点．
再根据f（x）为偶函数，可得函数在区间（-$\sqrt{30}$，-$\sqrt{14}$）之间有零点，
因此 f（x）=0 至少有三个根，不满足题意，故把 a=-3舍去．
所以，若方程有唯一解，则 a=1．

点评 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性的性质应用，注意排除a=-3，这是解题的难点．