Question

3．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量$\overrightarrow{m}$=（2sinB，2-cos2B），$\overrightarrow{n}$=（2sin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$，-1），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，$a=\sqrt{3}$，b=1
（1）求角B的大小
（2）求c的值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量的应用可得4sinBsin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$）+cos2B-2=0，整理解得$sinB=\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π）及大边对大角的知识即可解得B的值．
（2）由已知及余弦定理即可解得c的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$_l=（2sinB，2-cos2B），$\overrightarrow{n}$=（2sin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$），-1），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，可得：4sinBsin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$）+cos2B-2=0，…（3分）
则$2sinB[1-cos（\frac{π}{2}+B）]+cos2B-2=0$，…（5分）
所以$sinB=\frac{1}{2}$，…（6分）
又B∈（0，π），则$B=\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$…（7分）
又a＞b，所以B=$\frac{π}{6}$．…（8分）
（2）由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB…（10分）
得c=2或c=1…（12分）

点评 本题主要考查了向量垂直的性质，三角函数恒等变换的应用及余弦定理的应用，属于中档题．