Question

13．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≥1}\\{y≥3x-3}\end{array}\right.$，则目标函数z=2x+y的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3}{2}$，2]
• B． [2，$\frac{9}{2}$]
• C． [$\frac{3}{2}$，3]
• D． [$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$]

Answer 1

分析 根据已知的约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≥1}\\{y≥3x-3}\end{array}\right.$，画出满足约束条件的可行域，结合目标函数的几何意义求最大值、及最小值，进一步线出目标函数的值域．

解答 解：约约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≥1}\\{y≥3x-3}\end{array}\right.$，对应的平面区域如下图示：

由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$得到（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=3x-3}\end{array}\right.$得到（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
由图易得目标函数z=2x+y在（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）处取得最小值2×$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
在（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）处取最大值2×$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
故z=2x+y的取值范围为：[$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$]
故选D．

点评 本题考查了线性规划问题，利用数形结合解答是关键．