Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-10，x≤7}\\{\frac{1}{f（x-2）}，x＞7}\end{array}\right.$，若a_n=f（n）（n∈N^*），则数列{a_n}的前50项和等于$\frac{225}{4}$．

Answer 1

分析 n≤7时，a_n=f（n）=2n-10，可得a₆=f（6），a₇=f（7）．x＞7时，a₈=f（8）=$\frac{1}{f（6）}$，a₉=f（9）=$\frac{1}{f（7）}$，n≥10时，a_n=f（n）=$\frac{1}{f（n-2）}$=f（n-4）．即可得出．

解答 解：n≤7时，a_n=f（n）=2n-10，
∴a₆=f（6）=2×6-10=2，a₇=f（7）=2×7-10=4．
n＞7时，a₈=f（8）=$\frac{1}{f（6）}$=$\frac{1}{2}$，a₉=f（9）=$\frac{1}{f（7）}$=$\frac{1}{4}$，a₁₀=f（10）=$\frac{1}{f（8）}$=f（6）=2，a₁₁=f（11）=$\frac{1}{f（9）}$=f（7）=4，
a₁₂=f（12）=$\frac{1}{f（10）}$=f（8）=$\frac{1}{2}$，…，n≥10时，a_n=f（n）=$\frac{1}{f（n-2）}$=f（n-4）．
∴数列{a_n}的前50项和为：$\frac{6×（-8+2）}{2}$+11×$（4+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+2）$=$\frac{225}{4}$．
故答案为：$\frac{225}{4}$．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的周期性、等差数列的通项公式与求和公式、分段函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．