Question

12．已知曲线C₁的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.（θ$为参数），曲线C₂的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=\frac{3+3t}{4}}\end{array}}\right.（t$为参数）．
（1）将曲线C₁，C₂的参数方程化为普通方程；
（2）求曲线C₁上的点到曲线C₂的距离的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）消去参数，将曲线C₁，C₂的参数方程化为普通方程；
（2）点P到直线3x-4y+12=0的距离d为：$d=\frac{|6cosθ-4sinθ+12|}{5}=\frac{{|2\sqrt{13}cos（θ+φ）+12|}}{5}$，即可求曲线C₁上的点到曲线C₂的距离的最大值和最小值．

解答 解：（1）曲线C₁的普通方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，曲线C₂的普通方程为3x-4y+12=0；
（2）设点P（2cosθ，sinθ）为曲线C₁任意一点，
则点P到直线3x-4y+12=0的距离d为：$d=\frac{|6cosθ-4sinθ+12|}{5}=\frac{{|2\sqrt{13}cos（θ+φ）+12|}}{5}$，
因为cos（θ+φ）∈[-1，1]，所以$d∈[\frac{{12-2\sqrt{13}}}{5}，\frac{{12+2\sqrt{13}}}{5}]$，
即曲线C₁上的点到曲线C₂的距离的最大值为$\frac{{12+2\sqrt{13}}}{5}$，最小值为$\frac{{12-2\sqrt{13}}}{5}$．

点评 本题考查参数方程化为普通方程，考查参数方程的运用，属于中档题．