Question

已知a＞0,a≠1,设P:函数y=log_a（x+1）在x∈（0,+∞）内单调递减；Q:曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点.如果P和Q有且只有一个正确,求a的取值范围.

Answer 1

思路分析：本题是函数与命题的综合题，涉及到函数的单调性和一元二次函数对应的方程的根的问题，P和Q有且只有一个正确，应分两种情况讨论分析.

解：当0＜a＜1时,函数y=log_a（x+1）在（0,+∞）内单调递减；当a＞1时,y=log_a（x+1）在（0,+∞）内不是单调递减.曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于两点等价于（2a-3）²-4＞0,即或.

（1）若P正确,且Q不正确,即函数y=log_a（x+1）在（0,+∞）内单调递减,曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴不交于两点,因此a∈（0,1）∩（［,1）∪（1,］）,即a∈［,1）.

（2）若P不正确,且Q正确,即函数y=log_a（x+1）在（0,+∞）内不是单调递减,曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于两点,因此a∈（1,+∞）∩（（0,）∪（,+∞））,即a∈（,+∞）.

    综上,a的取值范围为［,1）∪（,+∞）.