Question

设a、b、c 为△ABC 的三边，求证：方程x²+2ax+b²=0 与x²+2cx-b²=0 有公共根的充要条件是A=90 °

Answer 1

证明：
充分性：
∵A=90 °，∴a²=b²+c² ，
于是方程x²+2ax+b²=0 可化为x²+2ax+a²-c²=0.  
∴x²+2ax+(a+c)(a-c)=0，
∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0 ，
∴该方程有两个根x₁=-(a+c) ，x₂=-(a-c).  
同理，另一方程x²+2cx-b²=0 可化为x²+2ex-(a²-e²)=0 ，
∴x²+2cx+(c+a)(c-a)=0 ，    
∴[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,    
∴该方程有两个根x₃=-(a+c) ，x₄=-(c-a )．可以发现x₁=x₃ ，
∴这两个方程有公共根，    
必要性：
设α是两方程的公共根，
    
由①+②得2α²+2α(a+c) =0.    
∵α≠0
∴α=-(a+c)，
将α=-(a+c)代入①得a²=b²+c²．
∴A=90°．    
综上可知，方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是A=90°