Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣1．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn＝anlog2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n﹣1（2）Tn＝1+（n﹣1）2n

【解析】

（1）运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项；

（2）求得bn＝anlog2an+1＝n2n﹣1，由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和．

（1）Sn＝2an﹣1，可得n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣1，即有a1＝1，

n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，即为an＝2an﹣1，

可得{an}为首项为1，公比为2的等比数列，

可得an＝2n﹣1；

（2）bn＝anlog2an+1＝n2n﹣1，

前n项和Tn＝120+221+…+n2n﹣1，

2Tn＝12+222+…+n2n，

相减可得﹣Tn＝1+2+…+2n﹣1﹣n2n

n2n，

化简可得Tn＝1+（n﹣1）2n．