【题目】已知点A（0，﹣2），椭圆E： 
+ 
=1（a＞b＞0）的离心率为 
，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 
，O为坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【答案】
（1）解：设F（c，0），由条件知 
，得 
又 
，
所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程 
．
（2）解：依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
将y=kx﹣2代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
当△=16（4k2﹣3）＞0，即 
时， 
从而 
又点O到直线PQ的距离 
，所以△OPQ的面积 
= 
，
设 
，则t＞0， 
，
当且仅当t=2，k=± 
等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y= x﹣2或y=﹣ x﹣2
【解析】（1）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（2）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）将y=kx﹣2代入 ，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
各地期末复习特训卷系列答案
小博士期末闯关100分系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本
万元，生产与销售均已百台计数，且每生产
台，还需增加可变成本
万元，若市场对该产品的年需求量为台，每生产
百台的实际销售收入近似满足函数
．
（
）试写出第一年的销售利润
（万元）关于年产量
（单位：百台，
，
）的函数关系式：（说明：销售利润=实际销售收入-成本）
（
）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过
台，若第一年的年支出费用
（万元）与年产量（百台）的关系满足
，问年产量为多少百台时，工厂所得纯利润最大？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知标准方程下的椭圆
的焦点在
轴上，且经过点
，它的一个焦点恰好与抛物线
的焦点重合．椭圆
的上顶点为
，过点
的直线交椭圆于
两点，连接
、
，记直线
的斜率分别为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)求
的值.
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【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C． 
（1）证明：AC=AB1；
（2）若AC⊥AB1 ， ∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知曲线C： 
+ 
=1，直线l： 
（t为参数）
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f（x）=Asin（x+ 
），x∈R，且f（ 
）= 
．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）= ，θ∈（0， 
），求f（ 
﹣θ）．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知直线l的参数方程为 
（t为参数），圆C的参数方程为 
（θ为常数）．
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
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