Question

【题目】已知函数有两个极值点，其中为常数， 为自然对数的底数.

（1）求实数的取值范围；

（2）证明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）函数有两个极值点，等价于有两个变号零点，变量分离，构造函数，讨论其单调性，结合函数简图可得其范围.

（2）先构造函数为和0比较大小 ，再利用在区间上的单调性比较大小.

试题解析：（1）函数的定义域为， .

因为函数有两个极值点，所以有两个变号零点，故关于的方程有两个不同的解，

令，则，

当时，当时， ，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

又当时， ；当时， ，且，

结合函数简图可知， ，所以.

（2）不妨设，由（1）可知， ，所以，

因为函数在区间上单调递增，则

所以当即时， 即.

又，所以可化为，

即即，

令，则，

令，则，

当时， ，所以在区间上单调递增，则，

所以在区间上单调递增， .证毕.

点晴:本题考查的是用导数研究函数的极值问题和极值点偏移问题.函数的极值点即导数方程的变号零点，函数有两个极值点可转化为导数方程有两个不等根的问题，求导研究函数的图象增减即可.极值点偏移即解决两个问题，在一部分区间上构造函数和0比，在另外一区间上利用函数的单调性，比较大小即可.