Question

已知点 M（0，-1），F（0，1），过点M的直线l与曲线y=

1

3

x3-4x+4在x=-2处的切线平行．
（1）求直线l的方程；
（2）求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．

Answer 1

分析：（1）设函数f（x）=

1

3

x3-4x+4，可得它的导数f'（x）=x²-4，从而得到直线l的斜率为f'（2）=0，最后结合直线l经过点M（0，-1）得直线l的方程；
（2）根据题意，抛物线的开口向上，设出它的标准方程，结合焦点的坐标即可得到抛物线C的方程．

解答：解：（1）设y=

1

3

x3-4x+4=f（x），则f'（x）=x²-4
∴曲线y=

1

3

x3-4x+4在x=-2处的切线斜率k=f'（2）=0
∵过点M（0，-1）的直线l与曲线y=

1

3

x3-4x+4在x=-2处的切线平行，
∴直线l的斜率也为0，直线l的方程是：y=-1；
（2）∵抛物线C以点F（0，1）为焦点，直线l为准线
∴设抛物线方程为x²=2py，可得

p

2

=1，2p=4
因此所求抛物线的方程为x²=4y．

点评：本题给出已知曲线上一点处的切线，求与它平行的直线l的方程，并且求另一个抛物线方程，着重考查了抛物线的标准方程和导数的几何意义等知识点，属于基础题．