Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，，点分别为的中点.

（1）求证：平面平面EFD；

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）根据面面平行的判定定理，在面EFD内找两条相交直线平行于平面，即可证出；（2）根据等积法，，先求出三角形DEF的面积，再求出，即可求出点到平面的距离。

（1）由题意知：点是的中点，且，

所以，所以四边形是平行四边形，则.

平面，平面，所以平面.

又因为分别为的中点，所以.

平面，平面，

所以平面.

，所以平面平面.

（2）中，，，，

所以，所以

因为平面平面，

平面平面

所以平面.

连，取的中点，连，易知，

平面且.

设点P到平面EFD的距离为d.

在Rt△中，

在Rt△中，

在Rt△中，

在Rt△中，

在△中，，

即，

解得，

所以

所以.

因为平面平面，

平面平面，平面，，所以，平面所以，的长即是点到平面的距离.

在Rt△中，，

所以，，

所以.

所以，

即，

即，解得.

所以，点到平面的距离为.