Question

【题目】已知正四面体的表面积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

本题首先可以将正四面体放入正方体中，然后借助正方体的性质得出外接球的球心，通过正四面体的表面积为即可计算出长，从而求得外接球的半径，利用截面圆的性质求得最小截面圆的半径径，问题得解。

如图所示，

将正四面体放入正方体中，则正方体的中心即为其外接球的球心，

因为正四面体的表面积为，

所以，

因为是正三角形，所以，，

设正方体的边长为，则：，解得：

所以正四面体的外接球直径为，

设过点的截面圆半径为，球心到截面圆的距离为，正四面体的外接球半径为，

由截面圆的性质可得：

当最大时，最小，此时对应截面圆的面积最小.

又，所以的最大值为，此时最小为

所以过点的最小截面圆的面积为，故选B。