【题目】如图,椭圆的离心率为
,其左顶点
在圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆
的另一个交点为
,与圆
的另一个交点为
.
(ⅰ)当时,求直线
的斜率;
(ⅱ)是否存在直线,使
?若存在,求出直线
的斜率;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)(ⅰ)1,-1;(ⅱ)不存在直线
,使得
.
【解析】
试题分析:(1)要求椭圆标准方程,就要知道两个独立条件,椭圆左顶点在圆说明
,再由离心率可得
,最后由
可得
;(2)本题考查解析几何的基本方法,直线与椭圆相交问题与存在性命题,解决方法是(ⅰ)设点
,显然直线
存在斜率,设直线
的方程为
,与椭圆方程联立并代入消元得
,其中一个根是-4,另一根设为
(易得),再由弦长公式
可求得
;(ⅱ)圆中的弦长
利用垂径定理求得,把
代入方程
,解之,如能解得
值,说明存在,如方程无解,说明不存在.
试题解析:(1)因为椭圆的左顶点
在圆
上,所以
,
又离心率为,所以
,所以
,
所以,所以
的方程为
.
(2)(ⅰ)设点,显然直线
存在斜率,
设直线的方程为
,与椭圆方程联立得
,
化简得到,
因为-4为上面方程的一个根,所以,
所以,
由,
代入得到,解得
,所以直线
的斜率为1,-1.
(ⅱ)圆心到直线的距离为
,
,
因为,
代入得到,
显然,,所以不存在直线
,使得
.
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【题目】已知F1 , F2为椭圆 的左、右焦点,F2在以
为圆心,1为半径的圆C2上,且|QF1|+|QF2|=2a.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)过点P(0,1)的直线l1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆C2于C,D两点,M为线段CD中点,求△MAB面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,三角形ABC为等腰直角三角形,AC=BC= ,AA1=1,点D是AB的中点.
(1)求证:AC1∥平面CDB1;
(2)二面角B1﹣CD﹣B的平面角的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0 , h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),当x≠x0时,若 >0在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”,则f(x)=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是( )
A.1
B.
C.e
D.
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【题目】已知函数f(x)的定义域为R,若存在常数T≠0,使得f(x)=Tf(x+T)对任意的x∈R成立,则称函数f(x)是Ω函数. (Ⅰ)判断函数f(x)=x,g(x)=sinπx是否是Ω函数;(只需写出结论)
(Ⅱ)说明:请在(i)、(ii)问中选择一问解答即可,两问都作答的按选择(i)计分
(i)求证:若函数f(x)是Ω函数,且f(x)是偶函数,则f(x)是周期函数;
(ii)求证:若函数f(x)是Ω函数,且f(x)是奇函数,则f(x)是周期函数;
(Ⅲ)求证:当a>1时,函数f(x)=ax一定是Ω函数.
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【题目】证明与分析
(1)已知a,b为正实数.求证: +
≥a+b;
(2)某题字迹有污损,内容是“已知|x|≤1, ,用分析法证明|x+y|≤|1+xy|”.试分析污损部分的文字内容是什么?并说明理由.
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