Question

【题目】设函数， 的图象在点处的切线与直线平行．

（1）求的值；

（2）若函数，且在区间上是单调函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由题意知，曲线y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为3，求导数，代入计算，即可得出结论；
（2）求导数，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

试题解析：

（1）由题意知，曲线的图象在点处的切线斜率为3，

所以，又， 即，所以．

（2）由（1）知，

所以，

①若在区间（0，+∞）上为单调递减函数，则在（0，+∞）上恒成立，

即，所以．

令，则，

由，得，由，得，

故在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数， 则， 无最大值， 在（0，+∞）上不恒成立， 故在（0，+∞）不可能是单调减函数

②若在（0，+∞）上为单调递增函数，则在（0，+∞）上恒成立，

即，所以， 由前面推理知， 的最小值为，∴，

故a的取值范围是.