Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x|x﹣2|．若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0（a，b∈R）恰有10个不同实数解，则a的取值范围为（ ）
A.（0，2）
B.（﹣2，0）
C.（1，2）
D.（﹣2，﹣1）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：设x＜0，则﹣x＞0，满足表达式f（x）=x|x﹣2|． ∴f（﹣x）=﹣x|﹣x﹣2|=﹣x|x+2|，
又∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），
∴f（x）=﹣x|x+2|，
故当x＜0时，f（x）=﹣x|x+2|．
则f（x）= ，
作出f（x）的图象如图：
设t=f（x），
由图象知，当t＞1时，t=f（x）有两个根，
当t=1时，t=f（x）有四个根，
当0＜t＜1时，t=f（x）有六两个根，
当t=0时，t=f（x）有三个根，
当t＜0时，t=f（x）有0个根，
则方程[f（x）]2+af（x）+b=0等价为t2+at+b=0，
若方程[f（x）]2+af（x）+b=0（a∈R）恰好有1个不同实数解，
等价为方程t2+at+b=0有两不同的根，
且0＜t1＜1，t2=1，
则t1+t2=﹣a，
即1＜t1+t2＜2，
则1＜﹣a＜2，
即﹣2＜a＜﹣1，
则a的取值范围为（﹣2，﹣1），
故选D．

【考点精析】利用函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．