Question

【题目】证明与分析
（1）已知a，b为正实数．求证： + ≥a+b；
（2）某题字迹有污损，内容是“已知|x|≤1， ，用分析法证明|x+y|≤|1+xy|”．试分析污损部分的文字内容是什么？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵a＞0，b＞0，

∴（a+b）（ ）=a2+b2+ ≥a2+b2+2ab=（a+b）2．

∴ ≥a+b，当且仅当a=b时等号成立．

（2）解：污损部分的文字内容为“|y|≤1”．理由如下：

要证：|x+y|≤|1+xy|，只需证：（x+y）2≤（1+xy）2，即证：x2+y2≤1+x2y2，

只需证：（x2﹣1）（1﹣y2）≤0，

∵|x|≤1，故只需证：1﹣y2≥0即可．

∴估计污损部分的文字内容为“|y|≤1”．

【解析】（1）不等式两边同乘（a+b），使用基本不等式即可得出结论；（2）将结论两边平方即可得出（x2﹣1）（1﹣y2）≤0，故只需1﹣y2≥0即可．
【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题．