Question

【题目】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.

（1）求该抛物线的方程；

（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求;
(2)由(1)求出M的坐标,设出直线DE的方程 ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用 得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.

试题解析：

（1）由题意设抛物线方程为，

其准线方程为，

∵到焦点的距离等于到其准线的距离，

∴，∴.

∴抛物线的方程为.

（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，

设直线的方程为： ，

联立，得，

则①.

设，则.

∵

即，得： ，

∴，即或，

代人①式检验均满足，

∴直线的方程为： 或.

∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.

点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．