【题目】已知抛物线的顶点在原点,焦点在
轴上,且抛物线上有一点
到焦点的距离为5.
(1)求该抛物线的方程;
(2)已知抛物线上一点,过点
作抛物线的两条弦
和
,且
,判断直线
是否过定点?并说明理由.
【答案】(1).(2)
【解析】试题分析:(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求;
(2)由(1)求出M的坐标,设出直线DE的方程 ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用
得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.
试题解析:
(1)由题意设抛物线方程为,
其准线方程为,
∵到焦点的距离等于
到其准线的距离,
∴,∴
.
∴抛物线的方程为
.
(2)由(1)可得点,可得直线
的斜率不为0,
设直线的方程为:
,
联立,得
,
则①.
设,则
.
∵
即,得:
,
∴,即
或
,
代人①式检验均满足,
∴直线的方程为:
或
.
∴直线过定点(定点
不满足题意,故舍去).
点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题.因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简单化.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元,每生产1千件需另投入27万元,设该公司一年内生产该产品千件
并全部销售完,每千件的销售收入为
万元,且
.
⑴ 写出年利润(万元)关于年产量
(千件)的函数解析式;
⑵ 当年产量为多少千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大?(注:年利润=年销售收入年总成本).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】证明与分析
(1)已知a,b为正实数.求证: +
≥a+b;
(2)某题字迹有污损,内容是“已知|x|≤1, ,用分析法证明|x+y|≤|1+xy|”.试分析污损部分的文字内容是什么?并说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=2cos2x+2 sinxcosx+a,且当
时,f(x)的最小值为2.
(1)求a的值,并求f(x)的单调增区间;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 ,再把所得图象向右平移
个单位,得到函数y=g(x),求方程g(x)=2在区间
上的所有根之和.
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【题目】设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(﹣3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣3,0)∪(3,+∞)
B.(﹣3,0)∪(0,3)
C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
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【题目】已知集合A={x|3≤3x≤27}, .
(1)分别求A∩B,(RB)∪A;
(2)已知集合C={x|1<x<a},若CA,求实数a的取值集合.
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