【题目】设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(﹣3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣3,0)∪(3,+∞)
B.(﹣3,0)∪(0,3)
C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
【答案】D
【解析】解:设F(x)=f (x)g(x),当x<0时,
∵F′(x)=f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0.
∴F(x)在当x<0时为增函数.
∵F(﹣x)=f (﹣x)g (﹣x)=﹣f (x)g (x)=﹣F(x).
故F(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
∴F(x)在(0,+∞)上亦为增函数.
已知g(﹣3)=0,必有F(﹣3)=F(3)=0.
构造如图的F(x)的图象,可知
F(x)<0的解集为x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3).
故选D
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)=|ax﹣1|﹣(a﹣1)x
(1)当a= 时,满足不等式f(x)>1的x的取值范围为;若函数f(x)的图象与x轴没有交点,则实数a的取值范围为 .
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【题目】圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R).
(1)证明:不论m取什么数,直线l与圆C恒交于两点;
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度,并求此时m的值.
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【题目】已知抛物线的顶点在原点,焦点在
轴上,且抛物线上有一点
到焦点的距离为5.
(1)求该抛物线的方程;
(2)已知抛物线上一点,过点
作抛物线的两条弦
和
,且
,判断直线
是否过定点?并说明理由.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx﹣ )(A>0,ω>0)的最大值为2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为
. (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调减区间.
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【题目】一位网民在网上光顾某网店,经过一番浏览后,对该店铺中的A,B,C三种商品有购买意向.已知该网民购买A种商品的概率为 ,购买B种商品的槪率为
,购买C种商品的概率为
.假设该网民是否购买这三种商品相互独立
(1)求该网民至少购买2种商品的概率;
(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数,求η的槪率分布和数学期望.
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【题目】已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值;
(2)解不等式 ;
(3)求函数g(x)=|logax﹣1|的单调区间.
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