Question

16．如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=$\frac{π}{4}$，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（1）证明：直线MN∥平面OCD．
（2）求三棱锥N-CDM的体积．

Answer 1

分析 （1）取AD中点E，连结ME，NE，推导出平面MNE∥平面CDO，由此能证明直线MN∥平面OCD．
（2）三棱锥N-CDM的体积V_N-CDM=V_M-CDN，由此能求出结果．

解答 证明：（1）取AD中点E，连结ME，NE，
∵M为OA的中点，N为BC的中点，
∴ME∥OD，NE∥CD，
∵ME∩NE=E，OD∩CD=D，ME，NE?平面MNE，OD，CD?平面CDO，
∴平面MNE∥平面CDO，
∵MN?平面MNE，∴直线MN∥平面OCD．
解：（2）∵OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，
∴AM⊥平面CDN，且AM=1，
∵底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=$\frac{π}{4}$，
∴${S}_{△CDN}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×sin135°$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
∴三棱锥N-CDM的体积V_N-CDM=V_M-CDN=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDN}×AM$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{8}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{24}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．