Question

3．已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱B₁C₁，C₁D₁的中点．
（I）求AD₁与EF所成角的大小；
（II）求AF与平面BEB₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）建立如图所示的坐标系，利用向量法求AD₁与EF所成角的大小；
（II）求出平面BEB₁的法向量，利用向量法求AF与平面BEB₁所成角的余弦值．

解答 解：（I）建立如图所示的坐标系，D（0，0，0），A（1，0，0），
E（0，$\frac{1}{2}$，1），F（$\frac{1}{2}$，1，1），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
设AD₁与EF所成角为α，∴cosα=|$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴AD₁与EF所成角的大小为60°；
（II）$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BE}$=（-1，-$\frac{1}{2}$，1），
设平面BEB₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{-x-\frac{y}{2}+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，-2，0），
∵$\overrightarrow{AF}$=（-$\frac{1}{2}$，1，1），
∴AF与平面BEB₁所成角的正弦值为|$\frac{-\frac{1}{2}-2}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{1}{4}+1+1}}$|=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴AF与平面BEB₁所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线线角，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．