Question

【题目】如图，直线l：y＝x＋b (b>0)，抛物线C：y2＝2px(p>0)，已知点P(2，2)在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为.

(1)求直线l及抛物线C的方程；

(2)过点Q(2,1)的任一直线(不经过点P)与抛物线C交于A，B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线l的方程为y＝x＋2，抛物线C的方程为y2＝2x.；（2）存在，且2.

【解析】试题分析：(1)设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和点到直线的距离公式进行求解；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到等量关系，再联立两直线方程得到另一等量关系，两者结合即可证明.

试题解析：(1)∵点P(2,2)在抛物线C上，∴p＝1.

设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′的方程为y＝x＋m，

由

得x2＋(2m－2)x＋m2＝0，Δ＝(2m－2)2－4m2＝4－8m，

由Δ＝0，得m＝，

则直线l′的方程为y＝x＋.

两直线l，l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，

有＝，

解得b＝2或b＝－1(舍去)．

∴直线l的方程为y＝x＋2，抛物线C的方程为y2＝2x.

(2)∵直线AB的斜率存在，且k≠0，

∴设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)(k≠0)，

即y＝kx－2k＋1.

联立

得ky2－2y－4k＋2＝0(k≠0)，

设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝ (k≠0)，y1y2＝ (k≠0)．

∵k1＝＝＝，k2＝，

∴k1＋k2＝＋

＝

＝＝ (k≠0)．

联立

得xM＝，yM＝，

∴k3＝＝，

∴k1＋k2＝2k3.

∴存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3成立，且λ＝2.