Question

【题目】已知数列{an}满足a1=3，且an+1﹣3an=3n，（n∈N*），数列{bn}满足bn=3﹣nan．

（1）求证：数列{bn}是等差数列；

（2）设，求满足不等式的所有正整数n的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2,3,4

【解析】试题分析：（1）根据题干条件将表达式变形为：3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得，从而证得式子是等差数列；（2）根据第一问的结论得到数列的通项，进而求和，解不等式即可。

解析：

（1）证明：由bn=3﹣nan得an=3nbn，则an+1=3n+1bn+1．

代入an+1﹣3an=3n中，得3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得。

所以数列{bn}是等差数列．

（2）解：因为数列{bn}是首项为b1=3﹣1a1=1，公差为等差数列，

则则an=3nbn=（n+2）×3n﹣1．从而有。

故

则，由 得.

即3＜3n＜127，得1＜n≤4．

故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4．