Question

设各项为正的数列{a_n}满足：a1=1，

nan+1

an

=

(n+1)an

an+1

+1，令b₁=a₁，bn=n2[a1+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an-12

](n≥2)．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求证：(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)＜4(n≥1)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令t=

an+1

an

，则nt=

n+1

t

+1⇒t=

n+1

n

或t=-1（舍去）即

an+1

an

=

n+1

n

，然后利用迭乘法可求出a_n的值．
（II）根据题目条件可知

bn+1

bn+1

=

n2

(n+1)2

，然后利用该等下进行化简(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)=2•

bn+1

(n+1)2

，然后利用放缩法可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）令t=

an+1

an

，则nt=

n+1

t

+1⇒t=

n+1

n

或t=-1（舍去）即

an+1

an

=

n+1

n

，
∴

an

an-1

=

n

n-1

，

an-1

an-2

=

n-1

n-2

，…

a3

a2

=

3

2

，

a2

a1

=

2

1

将以上各式相乘得：a_n=n．…（4分）
（Ⅱ）∵bn=n2[a1+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an-12

](n≥2)．
∴bn=n2[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

](n≥2)．⇒

bn

n2

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

，
∴

bn+1

(n+1)2

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

+

1

n2

=

bn

n2

+

1

n2

∴

bn+1

bn+1

=

n2

(n+1)2

；…（6分）
当n=1时，1+

1

b1

=2＜4，结论成立；…（7分）
当n≥2时，(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)=

b1+1

b1

•

b2+1

b2

•

b3+1

b3

…

bn+1

bn

=

b1+1

b1b2

•(

b2+1

b3

•

b3+1

b4

…

bn+1

bn+1

)bn+1=

1+1

1×4

(

22

32

•

32

42

•

42

52

…

n2

(n+1)2

)bn+1
=2•

bn+1

(n+1)2

…（9分）
∴2[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

+

1

n2

]＜2[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]
=2[1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=4-

4

n

＜4．…（12分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及利用放缩法证明不等式，属于中档题．