Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，求出与，然后利用向量的夹角公式求出所求即可；
（Ⅱ）先求平面OCD的法向量与平面OAB的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求出平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．
解答：解：作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则，
O（0，0，2），M（0，0，1）
（Ⅰ）设AB与MD所成的角为θ，
∵，
∴，
∴AB与MD所成角的大小为（5分）
（Ⅱ）∵，
∴设平面OCD的法向量为，
则，即，
取，解得．（6分）
易知平面OAB的一个法向量为（7分）
．（9分）
由图形知，平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值为（10分）
点评：本小题主要考查直线与平面所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．