Question

（2012•临沂二模）等差数列{a_n}的各项为正，其前n项和为S_n，且S₃=9，又a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：当n≥2时，

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

＜

5

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S₃=9，得a₂=3，由a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比数列，解得d=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由

1

an2

=

1

(2n-1)2

=

1

4n2-4n+1

＜

1

4n2-4n

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n

)，利用裂项求和法能够证明当n≥2时，

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

＜

5

4

．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₃=9，∴a₂=3，
∴a₁+2=3-d+2=5-d，
a₂+3=6，a₃+7=3+d+7=10+d，
∵a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比数列，
∴（5-d）（10+d）=36，解得d=2，或d=-7（舍去），
a_n=3+（n-2）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵

1

an2

=

1

(2n-1)2

=

1

4n2-4n+1

＜

1

4n2-4n

=

1

4n(n-1)

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n

)，
∴当n≥2时，

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

＜1+

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]
=1+

1

4

(1-

1

n

)＜1+

1

4

=

5

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．