Question

已知命题p：方程

x2

2m

-

y2

m-2

=1 表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：曲线y=x²+（2m-3）x+1与x轴交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出命题p、q为真命题时m的范围，根据复合命题真值表可得命题p，q命题一真一假，分p真q假和p假q真求出m的范围，再求并集．

解答：解：∵方程

x2

2m

-

y2

m-2

=1 表示焦点在x轴上的双曲线，
∴

2m＞0 m-2＞0

⇒m＞2
若p为真时：m＞2，
∵曲线y=x²+（2m-3）x+1与x轴交于不同的两点，
则△=（2m-3）²-4＞0⇒m＞

5

2

或m＜

1

2

，
若q真得：m＞

5

2

或m＜

1

2

，
由复合命题真值表得：若p∧q为假命题，p∨q为真命题，p，q命题一真一假                                
若p真q假：2＜m≤

5

2

；                           
若p假q真：m＜

1

2

                                
∴实数m的取值范围为：2＜m≤

5

2

或m＜

1

2

．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了双曲线的标准方程，关键是求得命题为真时的等价条件．