Question

设向量

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，-4sinβ）．
（1）若

a

⊥（

b

-2

c

），求tan（α+β）的值．
（2）求|

b

+

c

|的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）先求出

b

-2

c

，然后求

a

•(

b

-2

c

)=0，并通过两角和的正余弦公式进行化简成：4sin（α+β）-8cos（α+β）=0，这样即可求出tan（α+β）．
（2）先求

b

+

c

，然后通过利用坐标求向量长度的公式得出|

b

+

c

|并利用二倍角的正弦公式进行化简得到：|

b

+

c

|=

17-15sin2β

，所以sin2β=-1时取最大值．

解答： 解：（1）

b

-2

c

=(sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ）；
∴

a

•(

b

-2

c

)=4cosα(sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=4sin（α+β）-8cos（α+β）=0
∴tan（α+β）=2；
（2）

b

+

c

=(sinβ+cosβ，4（cosβ-sinβ））；
∴|

b

+

c

|=

(sinβ+cosβ)2+16(cosβ-sinβ

）²²=

17+sin2β-16sin2β

=

17-15sin2β

≤

17+15

=4

2

，当sin2β=-1时取等号．

点评：考查向量加法的坐标运算，两角和的正余弦公式，通过坐标求向量长度的公式，正弦函数的最值．