Question

（本小题12分）定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x₀，有f（x₀）= x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值．

Answer 1

（１）-1或3；（２）0<a<1；（３）b_min=-1

（1）f（x）=x²-x-3，由x²-x-3=x，解得 x=3或-1，
所以所求的不动点为-1或3．                        ………………………3分
（2）令ax²+（b+1）x+b-1=x，则ax²+bx+b-1="0      " ①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b²-4a（b-1）>0，
即b²-4ab+4a>0恒成立，………………………………5分
则△¢=16a²-16a＜0，故0<a<1 …………………………7分
（3）设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），则k_AB=1，∴k=﹣1，
所以y=-x+，                 ……………………………………8分
又AB的中点在该直线上，所以=﹣+，
∴x₁+x₂=，
而x₁、x₂应是方程①的两个根，所以x₁+x₂=﹣，即﹣=，
∴b=﹣                   …………………………………………10分
=-=-
∴当 a=∈（0，1）时，b_min="-1              " ．………………………………12分