Question

【题目】在三棱锥P﹣ABC中，PA垂直于底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积最大时，tanθ的值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2 ， ∵AE⊥PB，∴AE= PB= ，∴PE=BE= ．
∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC
∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC
∵PB平面PBC，∴AF⊥PB
∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，
结合EF平面AEF，可得PB⊥EF．
Rt△PEF中，∠EPF=θ，可得EF=PEtanθ= tanθ，
∵AF⊥平面PBC，EF平面PBC．∴AF⊥EF．
∴Rt△AEF中，AF= = ，
∴S△AEF= AFEF= × tanθ× =
∴当tan2θ= ，即tanθ= 时，S△AEF有最大值为 ．
所以答案是： ．