Question

【题目】已知椭圆E： ，不经过原点O的直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆E相交于不同的两点A、B，直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列．
（Ⅰ）求a，b，k的关系式；
（Ⅱ）若离心率 且 ，当m为何值时，椭圆的焦距取得最小值？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 由直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列，
得 ，
由 ，可得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，
故△=（2a2km）2﹣4（b2+a2k2）（a2m2﹣a2b2）＞0，
即b2﹣m2+a2k2＞0，
又x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
则 ，
即 ，
即 ，
又直线不经过原点，所以m≠0，
所以b2=a2k2即b=ak；
（Ⅱ）若 ，则 ， ，
又k＞0，得 ，
则x1+x2=﹣ =﹣ m，x1x2= = m2﹣2c2 ，
|AB|= =
= ，
化简得 （△＞0恒成立），
当 时，焦距最小
【解析】（Ⅰ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），运用等比数列的中项的性质，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，即可得到b=ak；（Ⅱ）运用离心率公式，可得斜率k，再由弦长公式，结合条件，运用基本不等式即可得到所求最值，以及m的取值．