Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解∵函数为定义在R上的奇函数，

∴f（0）=0，

∴ =0

解得b=1

（2）解由（1）知f（x）= = = + ，

设x1，x2∈R，且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）= + + ﹣ = ＞0，

∴函数f（x）为减函数

（3）解∵f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，

∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（﹣2t2+k）恒成立，

∵函数f（x）在R上为减函数．

∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，

∴k＜3t2﹣2t=3（t﹣ ）2﹣ ，

∴k＜﹣ ，

故k的取值范围为（﹣∞， ）

【解析】（1）根据奇函数的性质推断出f（0）=0求得b的值．（2）先分离常数，再利用单调性的定义证明即可．（3）根据奇函数的性质和函数的单调性，得到t2﹣2t＞﹣2t2+k，再分离参数k，求出函数3t2﹣2t的最小值即可．
【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．