Question

【题目】已知函数，且曲线在处的切线与平行.

（1）求的值；

（2）当时，试探究函数的零点个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析: （1）根据曲线在处的切线与平行可得: ,进而求出a值; （2）①当时， ，函数在单调递增，根据零点存在性定理可得: 在上只有一个零点.②当时， 恒成立，构造函数，求导判断单调性与最值可得，

又时， ，所以，即，故函数在上没有零点，③当时， ，

所以函数在上单调递减，根据零点存在性定理可得:函数在上有且只有一个零点，综上所述时，函数有两个零点.

试题解析:解：（1）依题意，故，

故，解得.

（2）①当时， ，此时， ，

函数在单调递增，

故函数在至多有一个零点，又，

而且函数在上是连续不断的，因此函数在上只有一个零点.

②当时， 恒成立，证明如下：

设，则，所以在上单调递增，

所以时， ，所以，

又时， ，所以，即，

故函数在上没有零点，

③当时， ，

所以函数在上单调递减，故函数在至多有一个零点，

又，而且函数在上是连续不断的，

因此，函数在上有且只有一个零点，

综上所述时，函数有两个零点.