Question

【题目】在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形
（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，
∵AB∩AC=A，
∴AA1⊥平面ABC，
∵BC平面ABC，
∴AA1⊥BC，
∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，
∴直线BC⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）解：取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1 ， 设O为A1C，AC1的交点，则O为AC1的中点．
连接MD，OE，则MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，
∴MD∥OE，MD=OE，
连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，
∴DE∥MO，
∵DE平面A1MC，MO平面A1MC，
∴DE∥平面A1MC，
∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC．

【解析】（Ⅰ）先证明AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BC，利用AC⊥BC，可以证明直线BC⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1 ， 证明四边形MDEO为平行四边形即可．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的性质，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行才能得出正确答案．