Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x²-ax，a＞0，
（Ⅰ）若x=

1

2

是函数f（x）的一个极值点，求a；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间A；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在[

1

2

，1]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若x=

1

2

是函数f（x）的一个极值点，求导得到f′（

1

2

）=0得，求a；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间A，比较f′（x）=0的两根的大小，确定函数的单调区间；（Ⅲ）若对于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在[

1

2

，1]上恒成立，转化为求函数函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

2ax2+(2-a2)x

ax+1

因为x=

1

2

是函数f（x）的一个极值点，所以f′(

1

2

)=0，得a²-a-2=0．
因为a＞0，所以a=2．
（Ⅱ）因为f（x）的定义域是(-

1

a

，+∞)，
f′(x)=

2ax2+(2-a2)x

ax+1

=

2ax(x- a2-2 2a )

ax+1

．
（1）当a＞

2

时，列表
f（x）在(-

1

a

，0)，(

a2-2

2a

，+∞)是增函数；
f（x）在(0，

a2-2

2a

)是减函数．
（2）当a=

2

时，34．gif，f（x）在(-

2

2

，+∞)是增函数．
（3）当0＜a＜

2

时，列表
f（x）在(-

1

a

，

a2-2

2a

)，（0，+∞）是增函数；
f（x）在(

a2-2

2a

，0)是减函数．
（Ⅲ）当

2

＜a≤2时，

a2-2

2a

=

a

2

-

1

a

≤

2

2

-

1

2

=

1

2

，
由（Ⅱ）可知f（x）在[

1

2

，1]上是增函数．
当1≤a≤

2

时，也有f（x）在[

1

2

，1]上是增函数，
所以对于对于任意的a∈[1，2]，f（x）的最大值为f（1）=ln（a+1）+1-a，
要使不等式f（x）≤m在[

1

2

，1]上恒成立，
须ln（a+1）+1-a≤m，
记g（a）=ln（a+1）+1-a，因为g′(a)=-

a

a+1

＜0，
所以g（a）在[1，2]上递减，g（a）的最大值为g（1）=ln2，所以m≥ln2．
故m的取值范围为[ln2，+∞）．

点评：考查x=x₀是极值点是f′（x₀）=0的充分非必要条件，考查应用导数研究函数的极值最值问题，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，属难题．