Question

18.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC.

    (Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；

    (Ⅱ)求直线OD与平面PBC所成角的大小.

Answer 1

(18)本题主要考查空间线面关系，空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。

解：方法一：

（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC的中点。

∴OD∥PA.

又PA平面PAB。

∴OD∥平面PAB。

（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA＝OC

∴OA＝OB＝OC，

又∵OP⊥平面ABC。

∴PA＝PB＝PC。

取BC中点E，连结PE，则BC⊥平面POE。

作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC，

∴∠ODF是OD与平PBC所成的角。

在Rt△ODF中，

sin∠ODF=,

∴OD与平面PBC所成的角为arcsin.

方法二：

∵OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，

∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP。

以O为原点，射线OP为非负x轴，建立空间直角坐标系O－xyz（如图）。

设AB＝a，则A（a,0,0）B(0, a,0),C(－a,0,0).

设OP＝h，则P（0，0，h）

(Ⅰ)∵D为PC的中点，

∴＝（－a,0,h）,

又＝（a,0,-h）,

∴ ＝－

∴∥

∴OD∥平面PAB。

（Ⅱ）∵PA＝2a,

∴h=a,

∴=(-a,0, a),

可求得平面PBC的法向量＝（－1，1，），

设OD与平面PBC所成的角为θ

∴OD与平面PBC所成的角为arcsin.