Question

20．从极点O作一直线与直线l：ρcosθ=4交于点M，在OM上取一点P，使PO•OM=8．
（1）以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，求P点轨迹的直角坐标方程；
（2）设N为l上的任意一点，试求PN的最小值．

Answer 1

分析 （1）设动点P的坐标为（ρ，θ），M的坐标为（ρ₀，θ），则ρρ₀=12，由ρ₀cosθ=4，得到ρ=3cosθ再化为直角坐标方程；
（2）先求出点轨迹的圆心坐标和半径，直线l的直角坐标方程，由点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，判断出直线与圆的位置关系，即可求出PN的最小值．

解答 解：（1）设动点P的坐标为（ρ，θ），M的坐标为（ρ₀，θ），
∵PO•OM=8，∴ρρ₀=8，
∵ρ₀cosθ=4，∴ρ=2cosθ即为所求的轨迹方程，
∴P点轨迹的直角坐标方程是x²+y²-2x=0；
（2）由（1）知，P点轨迹是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，
∵直线ρcosθ=4在平面直角坐标系中对应的方程为x=4，
∴圆心（1，0）到直线x=4的距离d=4-1=3＞1，
∴直线l与圆相离，则PN的最小值是3-1=2．

点评 本题考查动点的轨迹方程的求法，极坐标与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式，考查转化思想的应用，是中档题．