Question

15．设$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$是夹角为60°的单位向量，则2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$和3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 根据向量数量积的应用，求出相应的长度和数量积即可得到结论．

解答 解：∵$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$是夹角为60°的单位向量，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|cos60°=$\frac{1}{2}$，
则（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•（3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）=6$\overrightarrow a$²-2$\overrightarrow b$²-$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=6-2$-\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
|2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4+2+1}$=$\sqrt{7}$，
|3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$|=$\sqrt{（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{9-12×\frac{1}{2}+4}$=$\sqrt{13-6}$=$\sqrt{7}$，
∴2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$和3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$的夹角α满足cosα=$\frac{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）}{|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}=\frac{1}{2}$，
即α=60°，
故选：B．

点评 本题主要考查向量夹角的求解，根据向量数量积的应用分别求出向量长度是解决本题的关键．