Question

已知函数（x≠0）是奇函数，且满足f（1）=f（4），
（Ⅰ）求实数a、b的值；
（Ⅱ）试证明函数f（x）在区间(0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增；
（Ⅲ）是否存在实数k同时满足以下两个条件：①不等式f（x）+＜0对x∈（0，+∞）恒成立；②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解；若存在，试求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由，解得b=4，
由（x≠0）是奇函数，
得恒成立，
即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
任取，
，
，
∴，
∴，
所以，函数f（x）在区间(0，2]单调递减；类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增。
（Ⅲ）对于条件①：由（Ⅱ）可知函数f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值，
故若对x∈（0，+∞）恒成立，
则需，
∴；
对于条件②：由（Ⅱ）可知函数f（x）在（-∞，-2）单调递增，在[-2，0)单调递减，
∴函数f（x）在[-6，-2]单调递增，在[-2，-1]单调递减，
又，，
所以函数f（x）在[-6，-1]上的值域为，
若方程f（x）=k在[-6，-1]有解，则需，
若同时满足条件①②，则需；
答：当时，条件①②同时满足．