Question

已知向量

m

=(cosα-

3

2

，1)，

n

=(sinα，-1)，

m

∥

n

，α∈[0，π]，则sinα+cosα=

3

2

，cos2α=

-

15

4

．

Answer 1

分析：由两个向量平行的条件，列出关于角α的式子，化简即得sinα+cosα=

3

2

．再利用同角三角函数的关系，算出sinα-cosα=

5

2

，从而得出cos2α=cos²α-sin²α=-

15

4

．

解答：解：∵

m

=(cosα-

3

2

，1)，

n

=(sinα，-1)，

m

∥

n

，
∴(cosα-

3

2

)×(-1)=sinα，化简得sinα+cosα=

3

2

由（sinα+cosα）²+（sinα-cosα）²=2，
得

3

4

+（sinα-cosα）²=2，解之得（sinα-cosα）²=

5

4

∵α∈[0，π]，2sinαcosα=（sinα+cosα）²-1=-

1

4

＜0
∴α为钝角，得sinα-cosα=

5

2

因此，cos2α=cos²α-sin²α=-（sinα+cosα）（sinα-cosα）=-

15

4

故答案为：

3

2

，-

15

4

点评：本题给出向量含有α三角函数的坐标式，在向量平行的情况下求三角函数式的值．着重考查了向量平行的条件、同角三角函数的关系和二倍角三角公式等知识，属于中档题．