Question

（1+x）十（1+x）²+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，若a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=509-n，求自然数n=

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：由题意可得可得a_n=1，a₀=n．在所给的等式中，令x=1，求得a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2ⁿ⁺¹-3-n．再根据已知a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=509-n，可得 2ⁿ⁺¹-3-n=509-n，由此求得n的值．

解答： 解：由（1+x）十（1+x）²+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
可得a_n=1，a₀=n．
在上述等式中，令x=1，可得2十2²+…+2ⁿ =

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2=a₀+a₁+a₂+…+a_n ，
即 2ⁿ⁺¹-2=n+a₁+a₂+…+a_n-1 +1，∴a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2ⁿ⁺¹-3-n．
再根据已知a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=509-n，可得 2ⁿ⁺¹-3-n=509-n，
求得 2ⁿ⁺¹=512，故n=8，
故答案为：8．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．