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    甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，分别倒入对方容器搅匀，这称为是一次调和，记a1=10%，b1=20%，经（n-1）次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为an，bn．
    （1）试用an-1，bn-1表示an和bn；
    （2）求证：数列{an-bn}是等比数列；
    （3）求出{an}，{bn}的通项公式．
    考点：等差数列与等比数列的综合,等比关系的确定
    专题：等差数列与等比数列
    分析：（1）从甲（浓度：an-1）中取出100ml溶液，100ml溶液中含溶质100an-1，剩下的400ml溶液中含溶质400an-1，从乙（浓度：bn-1）中取出100ml溶液，100ml溶液中含溶质100bn-1，剩下的400ml溶液中含溶质400bn-1，由此能用an-1，bn-1表示an和bn．
    （2）an-bn=
    1
    5
    （4an-1+bn-1）-
    1
    5
    （4bn-1+an-1）=
    3
    5
    （an-1-bn-1），由此能证明数列{an-bn}是等比数列．
    （3）an-1+bn-1=a1+b1=30%，an=
    1
    5
    （4an-1+bn-1）=
    1
    5
    [4an-1+（30%-an-1）=15%-5%•（
    3
    5
    ）n-1，由此能求出bn=30%-an=15%+5%×（
    3
    5
    ）n-1．
    解答： （1）解：从甲（浓度：an-1）中取出100ml溶液，
    100ml溶液中含溶质100an-1，剩下的400ml溶液中含溶质400an-1，
    从乙（浓度：bn-1）中取出100ml溶液，
    100ml溶液中含溶质100bn-1，
    剩下的400ml溶液中含溶质400bn-1，
    调和后，甲中含溶质400an-1+100bn-1，
    浓度an=
    1
    500
    （400an-1+100bn-1）=
    1
    5
    [4a（n-1）+b（n-1）]，
    乙中含溶质400bn-1+100an-1，
    浓度bn=
    1
    500
    （400bn-1+100an-1）=
    1
    5
    [4bn-1+an-1]．
    （2）证明：an-bn=
    1
    5
    （4an-1+bn-1）-
    1
    5
    （4bn-1+an-1）
    =
    3
    5
    （an-1-bn-1），
    an-bn
    an-1-bn-1
    =
    3
    5
    ，
    ∴数列{an-bn}是等比数列．
    （3）解：an-1+bn-1=a1+b1=30%，
    an=
    1
    5
    （4an-1+bn-1）=
    1
    5
    [4an-1+（30%-an-1）
    =
    1
    5
    an-1    +6%
    =
    3
    5
    （
    3
    5
    an-2+6%）+6%
    =…=a1（
    3
    5
    ）n-1+6%[1+
    3
    5
    +（
    3
    5
    ）2+…+（
    3
    5
    ）n-2]
    =10%×（
    3
    5
    ）n-1+6%×[1-（
    3
    5
    ）n-1]×
    1
    1-
    3
    5

    =10%×（
    3
    5
    ）n-1+6%×
    5
    2
    [1-（
    3
    5
    ）n-1]
    =10%×（
    3
    5
    ）n-1+6%×（
    5
    2
    ）[1-（
    3
    5
    ）n-1]
    =10%×（
    3
    5
    ）n-1+15%[1-（
    3
    5
    ）n-1]
    =15%+10%×（
    3
    5
    ）n-1-15%×（
    3
    5
    ）n-1
    =15%-5%•（
    3
    5
    ）n-1，
    ∵an+bn=a1+b1=30%，
    ∴bn=30%-an
    =15%+5%×（
    3
    5
    ）n-1．
    点评：本题考查数列的表示，考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要注意溶液知识的合理运用．
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    x+
    1
    x
    ，x≠0
    0，x=0
    ，则下列结论成立的是（　　）
    A、f（x）在x=0处连续
    B、
    lim
    x→1
    f（x）=2
    C、
    lim
    x→0-
    f（x）=0
    D、
    lim
    x→0+
    f（x）=0

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    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右准线上，过P点的方向向量为
    a
    =（-2，-5）的光线经直线y=-2反射后通过椭圆的右焦点，则这个椭椭圆的离心率为
     
    ．

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    若＜
    a
    ，
    b
    ＞=60°，|
    b
    |=4，(
    a
    +2
    b
    )•(
    a
    -3
    b
    )    =-72，则|
    a
    |=（　　）
    A、2B、4C、6D、12

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    ．

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