Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： （a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．
（Ⅰ）当k=﹣ ，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意原点O到切线l：y=﹣ x+m的距离为半径1，∴ ，m= ，
切线l：y=﹣ x+ ，A（0， ），B（ ，0）
∴a= ，b= ，∴椭圆E的方程为： ．
（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
联立 ，得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．
．
．
∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，∴ ；
（k2+1）x1x2+km（x1+x2）=m2（a2+b2）=（k2+1）a2b2…①
又∵圆O的一条切线l：y=kx+m，∴原点O到切线l：y=kx+m的距离为半径rm2=（1+k2）r2…②
由①②得r2（a2+b2）=a2b2 ．
∴以AB为直径的圆经过坐标原点O，则a，b，r之间的等量关为：r2（a2+b2）=a2b2 ．
【解析】（Ⅰ）依题意原点O到切线l：y=﹣ x+m的距离为半径1，m= ，A（0， ），B（ ，0）代入椭圆方程，求出a、b即可（2）由原点O到切线l：y=kx+m的距离为半径rm2=（1+k2）r2 ． 联立直线方程和与椭圆的方程，利用 求解．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．