Question

有下列命题：
①x=0是函数y=x³的极值点；
②三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有极值点的充要条件是b²-3ac＞0；
③奇函数f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在区间（-4，4）上是单调减函数；
④若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g′（2010）=2009．
其中真命题的个数有（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：①利用极值的定义去判断．②利用函数取得极值的充要条件进行判断．
③利用奇函数的定义先确定m的值，然后利用导数研究函数的单调性．④利用导数公式进行求值．

解答：解：①因为函数的导数f'（x）=3x²≥0，即函数y=x³单调递增，所以函数无极值，所以①错误．
②三次函数的导数为f'（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），要使函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有极值点，则f'（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），有变号零点，
所以△＞0，即4b²-4×3ac＞0，即b²-3ac＞0，所以②正确．
③因为f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n为奇函数，所以m-1=0且n=0，所以m=1且n=0，所以函数f（x）=x³-48x．
f'（x）=3x²-48=3（x²-16），当x∈（-4，4）时，f'（x）＜0，此时函数单调递减，所以③正确．
④g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]（x-2010），
所以g'（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]'（x-2010）+[（x-1）（x-2）…（x-2009）]，
所以g′（2010）=2009×2008×…×1=2009!所以④正确．
故选D．

点评：本题主要考查命题的真假判断以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大．