Question

【题目】记min{x，y}= 设f（x）=min{x2 ， x3}，则（ ）
A.存在t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）
B.存在t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）
C.存在t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t）
D.存在t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：x2﹣x3=x2（1﹣x）， ∴当x≤1时，x2﹣x3≥0，当x＞1时，x2﹣x3＜0，
∴f（x）= ．
若t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|=|t2+（﹣t）3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2 ，
|f（t）﹣f（﹣t）|=|t2+t3|=t2+t3 ，
f（t）﹣f（﹣t）=t2﹣（﹣t）3=t2+t3 ，
若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|=|t3+（﹣t）3|=0，
|f（t）﹣f（﹣t）|=|t3+t3|=2t3 ，
f（t）﹣f（﹣t）=t3﹣（﹣t）3=2t3 ，
当t=1时，|f（t）+f（﹣t）|=|1+（﹣1）|=0，
|f（t）﹣f（﹣t）|=|1﹣（﹣1）|=2，
f（t）﹣f（﹣t）=1﹣（﹣1）=2，
∴当t＞0时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|=f（t）﹣f（﹣t），
故A错误，B错误；
当t＞0时，令g（t）=f（1+t）+f（1﹣t）=（1+t）2+（1﹣t）3=﹣t3+4t2﹣t+2，
则g′（t）=﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）=0得﹣3t2+8t﹣1=0，
∴△=64﹣12=52，∴g（t）有两个极值点t1 ， t2 ，
∴g（t）在（t2 ， +∞）上为减函数，
∴存在t0＞t2 ， 使得g（t0）＜0，
∴|g（t0）|＞g（t0），
故C正确；
令h（t）=（1+t）﹣f（1﹣t）=（1+t）2﹣（1﹣t）3=t3﹣2t2+5t，
则h′（t）=3t2﹣4t+5=3（t﹣ ）2+ ＞0，
∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）=0，
∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|=f（1+t）﹣f（1﹣t），
故D错误．
故选C．