Question

12．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=A•2ⁿ-B，且A+B=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S₁，S₂-S₁，S₃-S₂成等比数列，代入S_n=A•2ⁿ-B计算可知A=B，结合A+B=2计算可知S_n=2ⁿ-1，进而可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为等比数列，
∴S₁，S₂-S₁，S₃-S₂成等比数列，
又∵S_n=A•2ⁿ-B，
∴2A-B，2A，4A成等比数列，
∴（2A）²=4A（2A-B），
整理得：A=B，
又∵A+B=2，
∴A=B=1，
∴S_n=2ⁿ-1，
∴a_n=2ⁿ-1-2^n-1+1=2^n-1；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
则T_n=1+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．