Question

16．已知数列{a_n}中，对任意的n∈N^*若满足a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3=s（s为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s为4阶公和；若满足a_n•a_n+1•a_n+2=t（t为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t为3阶公积．已知数列{p_n}为首项为1的4阶等和数列，且满足$\frac{p_4}{p_3}=\frac{p_3}{p_2}=\frac{p_2}{p_1}=2$；数列{q_n}为公积为1的3阶等积数列，且q₁=q₂=-1，设S_n为数列{p_n•q_n}的前n项和，则S₂₀₁₆=-2520．

Answer 1

分析 通过定义可知数列数列{p_n}、数列{q_n}均为周期数列，进而可知数列{p_n•q_n}中每12项的和循环一次，进而计算可得结论．

解答 解：由题意可知，p₁=1，p₂=2，p₃=4，p₄=8，p₅=1，p₆=2，p₇=4，p₈=8，p₉=1，p₁₀=2，p₁₁=4，p₁₂=8，p₁₃=1，…，
又p_n是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，
同理，q₁=-1，q₂=-1，q₃=1，q₄=-1，q₅=-1，q₆=1，q₇=-1，q₈=-1，q₉=1，q₁₀=-1，q₁₁=-1，q₁₂=1，q₁₃=-1，…，
又q_n是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，
由此可知对于数列{p_n•q_n}，每12项的和循环一次，
易求出p₁•q₁+p₂•q₂+…+p₁₂•q₁₂=-15，
因此S₂₀₁₆中有168组循环结构，
故S₂₀₁₆=-15×168=-2520，
故答案为：-2520．

点评 本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题．